Кос положителен в какой четверти

Опубликовано: 17.09.2024

Вопросы, возникающие при изучении тригонометрических функций, разнообразны. Некоторые из них – о том, в каких четвертях косинус положительный и отрицательный, в каких четвертях синус положительный и отрицательный. Все оказывается просто, если знаешь, как вычислить значение данных функций в разных углах и знаком с принципом построения функций на графике.

Какие значения косинуса

Если рассматривать прямоугольный треугольник, то мы имеем следующее соотношение сторон, которое его определяет: косинусом угла а является отношение прилегающего катета ВС к гипотенузе АВ (рис. 1): cos a = ВС/АВ.

С помощью этого же треугольника можно найти синус угла, тангенс и котангенс. Синусом будет соотношение противоположного к углу катета АС к гипотенузе АВ. Тангенс угла находится, если синус искомого угла разделить на косинус того же угла; подставив соответственные формулы нахождения синуса и косинуса, получим, что tg a = АС/ВС. Котангенс, как обратная к тангенсу функция, будет находиться так: ctg a = ВС/АС.

То есть, при одинаковых значениях угла обнаружилось, что в прямоугольном треугольнике соотношение сторон всегда одинаковое. Казалось бы, стало ясно, откуда эти значения, но почему получаются отрицательные числа?

Для этого нужно рассматривать треугольник в декартовой системе координат, где присутствуют как положительные, так и отрицательные значения.

Наглядно про четверти, где какая

Первая четверть

Если разместить прямоугольный треугольник в первой четверти (от 0 о до 90 о ), где ось х и у имеют положительные значения (отрезки АО и ВО лежат на осях там, где значения имеют знак "+"), то что синус, что косинус тоже будут иметь положительные значения, и им присвоено значение со знаком «плюс». Но что происходит, если переместить треугольник во вторую четверть (от 90 о до 180 о )?

Вторая четверть

Видим, что по оси у катет АО получил отрицательное значение. Косинус угла a теперь имеет в соотношении эту сторону с минусом, потому и итоговое его значение становится отрицательным. Выходит, что то, в какой четверти косинус положительный, зависит от размещения треугольника в системе декартовых координат. И в этом случае косинус угла получает отрицательное значение. А вот для синуса ничего не изменилось, ведь для определения его знака нужна сторона ОВ, которая осталась в данном случае со знаком плюс. Подведем итог по первым двум четвертям.

Чтобы выяснить, в каких четвертях косинус положительный, а в каких отрицательный (а также синус и другие тригонометрические функции), необходимо смотреть на то, какой знак присвоен тому или иному катету. Для косинуса угла a важен катет АО, для синуса – ОВ.

Первая четверть пока что стала единственной, отвечающей на вопрос: «В каких четвертях синус и косинус положительный одновременно?». Посмотрим далее, будут ли еще совпадения по знаку этих двух функций.

Во второй четверти катет АО стал иметь отрицательное значение, а значит и косинус стал отрицательным. Для синуса сохранено положительное значение.

Третья четверть

Теперь оба катета АО и ОВ стали отрицательными. Вспомним соотношения для косинуса и синуса:

АВ всегда имеет положительный знак в данной системе координат, так как не направлена ни в одну из двух определённых осями сторон. А вот катеты стали отрицательными, а значит и результат для обоих функций тоже отрицательный, ведь если производить операции умножения или деления с числами, среди которых одно и только одно имеет знак «минус», то результат тоже будет с этим знаком.

Итог на данном этапе:

1) В какой четверти косинус положительный? В первой из трех.

2) В какой четверти синус положительный? В первой и второй из трёх.

Четвёртая четверть (от 270 о до 360 о )

Здесь катет АО вновь приобретает знак «плюс», а значит и косинус тоже.

Для синуса дела всё еще «отрицательны», ведь катет ОВ остался ниже начальной точки О.

Выводы

Для того чтобы понимать, в каких четвертях косинус положительный, отрицательный и т.д., нужно запомнить соотношение для вычисления косинуса: прилегающий к углу катет, деленный на гипотенузу. Некоторые учителя предлагают запомнить так: к(осинус) = (к) углу. Если запомнить этот «чит», то автоматически понимаешь, что синус – это отношение противоположного к углу катета к гипотенузе.

Запомнить, в каких четвертях косинус положительный, а в каких отрицательный, довольно сложно. Тригонометрических функций много, и все они имеют свои значения. Но все же, как итог: положительные значения для синуса – 1, 2 четверти (от 0 о до 180 о ); для косинуса 1, 4 четверти (от 0 о до 90 о и от 270 о до 360 о ). В остальных четвертях функции имеют значения с минусом.

Возможно, кому-то будет легче запомнить, где какой знак, по изображению функции.

Для синуса видно, что от нуля до 180 о гребень находится над линией значений sin(x), значит и функция здесь положительна. Для косинуса так же: в какой четверти косинус положительный (фото 7), а в какой отрицательный видно по перемещению линии над и под осью cos(x). Как итог, мы можем запомнить два способа определения знака функций синус, косинус:

1. По мнимому кругу с радиусом равным единице (хотя, на самом деле, не важно, какой радиус у круга, но в учебниках чаще всего приводят именно такой пример; это облегчает восприятие, но в то же время, если не оговориться, что это не суть важно, дети могут запутаться).

2. По изображению зависимости функции по (х) от самого аргумента х, как на последнем рисунке.

С помощью первого способа можно ПОНЯТЬ, от чего именно зависит знак, и мы подробно разъяснили это выше. Рисунок 7, построенный по этим данным, как нельзя лучше визуализирует полученную функцию и ее знакопринадлежность.

Знак тригонометрической функции зависит исключительно от координатной четверти, в которой располагается числовой аргумент. В прошлый раз мы учились переводить аргументы из радианной меры в градусную (см. урок «Радианная и градусная мера угла»), а затем определять эту самую координатную четверть. Теперь займемся, собственно, определением знака синуса, косинуса и тангенса.

угла α — это ордината (координата y ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

угла α — это абсцисса (координата x ) точки на тригонометрической окружности, которая возникает при повороте радиуса на угол α.

угла α — это отношение синуса к косинусу. Или, что то же самое, отношение координаты y к координате x .

Обозначение: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Все эти определения знакомы вам из курса алгебры старших классов. Однако нас интересуют не сами определения, а следствия, которые возникают на тригонометрической окружности. Взгляните:

Синим цветом обозначено положительное направление оси OY (ось ординат), красным — положительное направление оси OX (ось абсцисс). На этом «радаре» знаки тригонометрических функций становятся очевидными. В частности:

sin α > 0, если угол α лежит в I или II координатной четверти. Это происходит из-за того, что по определению синус — это ордината (координата y ). А координата y будет положительной именно в I и II координатных четвертях;
cos α > 0, если угол α лежит в I или IV координатной четверти. Потому что только там координата x (она же — абсцисса) будет больше нуля;
tg α > 0, если угол α лежит в I или III координатной четверти. Это следует из определения: ведь tg α = y : x , поэтому он положителен лишь там, где знаки x и y совпадают. Это происходит в I координатной четверти (здесь x > 0, y > 0) и III координатной четверти ( x y II координатной четверти. Но синус во II четверти положителен, поэтому sin (3π/4) > 0;
cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Т.к. 210° ∈ [180°; 270°], это угол из III координатной четверти, в которой все косинусы отрицательны. Следовательно, cos (7π/6) IV четверти, где тангенс принимает отрицательные значения. Поэтому tg (5π/3) II четверть, в которой синусы положительны, т.е. sin (3π/4) > 0. Теперь работаем с косинусом: 150° ∈ [90°; 180°] — снова II четверть, косинусы там отрицательны. Поэтому cos (5π/6) II координатная четверть, поэтому cos (2π/3) I четверть (самый обычный угол в тригонометрии). Тангенс там положителен, поэтому tg (π/4) > 0. Опять получили произведение, в котором множители разных знаков. Поскольку «минус на плюс дает минус», имеем: cos (2π/3) · tg (π/4) II координатной четверти, где синусы положительны. Следовательно, sin (5π/6) > 0. Аналогично, 315° ∈ [270°; 360°] — это IV координатная четверть, косинусы там положительны. Поэтому cos (7π/4) > 0. Получили произведение двух положительных чисел — такое выражение всегда положительно. Заключаем: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
tg (3π/4) · cos (5π/3) = tg (3 · 180°/4) · cos (5 · 180°/3) = tg 135° · cos 300°. Но угол 135° ∈ [90°; 180°] — это II четверть, т.е. tg (3π/4) IV четверть, т.е. cos (5π/3) > 0. Поскольку «минус на плюс дает знак минус», имеем: tg (3π/4) · cos (5π/3) III координатная четверть, поэтому ctg (4π/3) > 0. Аналогично, для тангенса имеем: 30° ∈ [0; 90°] — это I координатная четверть, т.е. самый простой угол. Поэтому tg (π/6) > 0. Снова получили два положительных выражения — их произведение тоже будет положительным. Поэтому ctg (4π/3) · tg (π/6) > 0.

В заключение рассмотрим несколько более сложных задач. Помимо выяснения знака тригонометрической функции, здесь придется немного посчитать — именно так, как это делается в настоящих задачах B11. В принципе, это почти настоящие задачи, которые действительно встречается в ЕГЭ по математике.

Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,64 и α ∈ [π/2; π].

Поскольку sin 2 α = 0,64, имеем: sin α = ±0,8. Осталось решить: плюс или минус? По условию, угол α ∈ [π/2; π] — это II координатная четверть, где все синусы положительны. Следовательно, sin α = 0,8 — неопределенность со знаками устранена.

Задача. Найдите cos α, если cos 2 α = 0,04 и α ∈ [π; 3π/2].

Действуем аналогично, т.е. извлекаем квадратный корень: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. По условию, угол α ∈ [π; 3π/2], т.е. речь идет о III координатной четверти. Там все косинусы отрицательны, поэтому cos α = −0,2.

Задача. Найдите sin α, если sin 2 α = 0,25 и α ∈ [3π/2; 2π].

Имеем: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Снова смотрим на угол: α ∈ [3π/2; 2π] — это IV координатная четверть, в которой, как известно, синус будет отрицательным. Таким образом, заключаем: sin α = −0,5.

Задача. Найдите tg α, если tg 2 α = 9 и α ∈ [0; π/2].

Все то же самое, только для тангенса. Извлекаем квадратный корень: tg 2 α = 9 ⇒ tg α = ±3. Но по условию угол α ∈ [0; π/2] — это I координатная четверть. Все тригонометрические функции, в т.ч. тангенс, там положительны, поэтому tg α = 3. Все!

Радианная и градусная мера угла
Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
Пробный ЕГЭ-2011 по математике, вариант №7
Сложные логарифмические неравенства
Задача B5: площадь фигуры без клеток
Решение задач на движение по воде

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла позволяют установить ряд характерных результатов – свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса. В этой статье мы рассмотрим три основных свойства. Первое из них указывает знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α в зависимости от того, углом какой координатной четверти является α . Дальше мы рассмотрим свойство периодичности, устанавливающее неизменность значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α при изменении этого угла на целое число оборотов. Третье свойство выражает зависимость между значениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса противоположных углов α и −α .

Если же Вас интересуют свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то их можно изучить в соответствующем разделе статьи основные элементарные функции: их свойства и графики.

Навигация по странице.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям.
Свойство периодичности.
Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям

Ниже в этом пункте будет встречаться фраза «угол I , II , III и IV координатной четверти». Объясним, что же это за углы.

Возьмем единичную окружность, отметим на ней начальную точку А(1, 0) , и повернем ее вокруг точки O на угол α , при этом будем считать, что мы попадем в точку A₁(x, y) .

Говорят, что угол α является углом I , II , III , IV координатной четверти, если точка А₁ лежит в I , II , III , IV четверти соответственно; если же угол α таков, что точка A₁ лежит на любой из координатных прямых Ox или Oy , то этот угол не принадлежит ни одной из четырех четвертей.

Для наглядности приведем графическую иллюстрацию. На чертежах ниже изображены углы поворота 30 , −210 , 585 и −45 градусов, которые являются углами I , II , III и IV координатных четвертей соответственно.

Углы 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов не принадлежат ни одной из координатных четвертей.

Теперь разберемся, какие знаки имеют значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α в зависимости от того, углом какой четверти является α .

Для синуса и косинуса это сделать просто.

По определению синус угла α - это ордината точки А₁ . Очевидно, что в I и II координатных четвертях она положительна, а в III и IV четвертях – отрицательна. Таким образом, синус угла α имеет знак плюс в I и II четвертях, а знак минус – в III и VI четвертях.

В свою очередь косинус угла α - это абсцисса точки A₁ . В I и IV четвертях она положительна, а во II и III четвертях – отрицательна. Следовательно, значения косинуса угла α в I и IV четвертях положительны, а во II и III четвертях – отрицательны.

Чтобы определить знаки по четвертям тангенса и котангенса нужно вспомнить их определения: тангенс – это отношение ординаты точки A₁ к абсциссе, а котангенс – отношение абсциссы точки A₁ к ординате. Тогда из правил деления чисел с одинаковыми и разными знаками следует, что тангенс и котангенс имеют знак плюс, когда знаки абсциссы и ординаты точки A₁ одинаковые, и имеют знак минус – когда знаки абсциссы и ординаты точки A₁ различны. Следовательно, тангенс и котангенс угла имеют знак + в I и III координатных четвертях, и знак минус – во II и IV четвертях.

Действительно, например, в первой четверти и абсцисса x , и ордината y точки A₁ положительны, тогда и частное x/y , и частное y/x – положительно, следовательно, тангенс и котангенс имеют знаки + . А во второй четверти абсцисса x – отрицательна, а ордината y – положительна, поэтому и x/y , и y/x – отрицательны, откуда тангенс и котангенс имеют знак минус.

Переходим к следующему свойству синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Свойство периодичности

Сейчас мы разберем, пожалуй, самое очевидное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Оно состоит в следующем: при изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса этого угла не изменяются.

Это и понятно: при изменении угла на целое число оборотов мы из начальной точки А всегда будем попадать в точку А₁ на единичной окружности, следовательно, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса остаются неизменными, так как неизменны координаты точки A₁ .

С помощью формул рассматриваемое свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно записать так: sin(α+2·π·z)=sinα , cos(α+2·π·z)=cosα , tg(α+2·π·z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , где α - угол поворота в радианах, z – любое целое число, абсолютная величина которого указывает количество полных оборотов, на которые изменяется угол α , а знак числа z указывает направление поворота.

Если же угол поворота α задан в градусах, то указанные формулы перепишутся в виде sin(α+360°·z)=sinα , cos(α+360°·z)=cosα , tg(α+360°·z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

Приведем примеры использования этого свойства. Например,
, так как
, а
. Вот еще пример:
или
.

Рассмотренное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса иногда называют свойством периодичности.

Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

Пусть А₁ – точка, полученная в результате поворота начальной точки А(1, 0) вокруг точки O на угол α , а точка А₂ – это результат поворота точки А на угол −α , противоположный углу α .

Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов базируется на достаточно очевидном факте: упомянутые выше точки А₁ и А₂ либо совпадают (при
), либо располагаются симметрично относительно оси Ox . То есть, если точка A₁ имеет координаты (x, y) , то точка А₂ будет иметь координаты (x, −y) . Отсюда по определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса записываем равенства
и .
Сопоставляя их, приходим к соотношениям между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов α и −α вида .
Это и есть рассматриваемое свойство в виде формул.

Приведем примеры использования этого свойства. Например, справедливы равенства
и
.

Остается лишь заметить, что свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов, как и предыдущее свойство, часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, и позволяет полностью уйти от отрицательных углов.

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №31. Знаки синуса, косинуса и тангенса

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса;

2)Зависимость знаков синуса, косинуса, тангенса и котангенса от положения точки, движущейся по тригонометрической окружности, от произвольного угла;

3) Знаки тригонометрического выражения.

Глоссарий по теме

Число
(пи) – математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Равна приблизительно 3,14.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Какие знаки имеюткоординаты точки в зависимости от их положения в системе координат?

У точек первой четверти

у точек второй четверти

у точек третьей четверти

у точек четвёртой четверти

В какой координатной четверти находятся точки с указанными координатами

А если точка находится на тригонометрической окружности, то как узнать зависимость знака координат точки от угла поворота вокруг начала координат?

Сегодня на уроке мы узнаем знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, научимся определять положение точки на тригонометрической окружности в зависимости от комбинации знаков синуса и косинуса, тангенса и котангенса.

1.Рассмотрим единичную окружность в прямоугольной системе координат хОу.

Точка Р(1;0) при повороте вокруг начала координат на угол
переместилась в точку Рₐ. Определим её координаты.

Синусом угла
является ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол
.

Косинусом угла
является абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол
.

Если угол
то точка Рₐ находится в первой четверти, здесь
, значит

, .

Если угол
, то точка Рₐ находится во второй четверти, здесь
,
, значит ,
.

Если угол
, то точка Рₐ находится в третьей четверти, здесь
,
, значит

,
.

Если угол
, то точка Рₐ находится в четвертой четверти, здесь
,
, значит
,

На рисунке видно какие знаки имеет синус, а какие косинус.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример1. Определить знаки синуса и косинуса угла
.

Решение: Выясним, в какой четверти находится точка, полученная поворотом на угол
.

во второй четверти синусы положительны, косинусы отрицательны.

Ответ:

Пример 2. Определить знаки синуса и косинуса угла
.

Решение: Полный угол, при котором точка «обойдёт» всю окружность, равен
.

а это значит, что точка после 2 оборотов окажется в первой четверти, где синус и косинус положительны.

Ответ:

Определить знаки синуса и косинуса угла
.

Решение: Угол отрицательный, значит точка получена поворотом по часовой стрелке.

в 4 четверти синусы отрицательны, косинусы положительны.

Ответ: синус отрицательный, косинус положительный.

Определить знаки
.

Решение: Знаем, что
, а
. Значит,
. Точка во второй четверти.

Ответ:

2.Знаки тангенса и котангенса.

Тангенс это отношение синуса угла к его косинусу:

Котангенс это отношение косинуса угла к его синусу:
.

Тангенс и котангенс будут положительными там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки. Это первая и третья четверти. Синус и косинус имеют разные знаки во второй и четвёртой четвертях, здесь тангенс и котангенс будут отрицательны. На рисунке изображены знаки тангенса и котангенса.

Определить знак тангенса угла

Решение
, угол второй четверти

Определить знак тангенса угла
.

Решение: Угол
в третьей четверти, тангенс положительный.

Ответ:

Вывод: чтобы определить знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса, нужно:

выяснить в какой координатной четверти находится угол;
знак синусов такой же, как ордината точки (у).
знак косинусов такой же, как абсцисса точки (х).
тангенсы и котангенсы положительны там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки(1ч. и 4ч.), отрицательны, где синус и косинус имеют противоположные знаки (2ч. и 3ч.).

Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Тригонометрия в прямоугольном треугольнике

Тригонометрический круг

Основное тригонометрическое тождество

Таблица значений тригонометрических функций

Градусы и радианы

Формулы приведения

Теорема синусов

Расширенная теорема синусов

Теорема косинусов

Тригонометрические уравнения (10-11 класс)

Примеры решений заданий из ОГЭ

Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.

Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = Противолежащий катет гипотенуза

Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

cos α = Прилежащий катет гипотенуза

Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).

tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет

Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).

ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет

Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:

sin ∠ A = C B A B

cos ∠ A = A C A B

tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C

ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B

sin ∠ B = A C A B

cos ∠ B = B C A B

tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B

ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C

Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.

Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.

Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )

На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.

Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .

Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .

Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .

Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :

cos α = O B O A = O B 1 = O B

sin α = A B O A = A B 1 = A B

Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .

Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).

Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :

Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .

Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .

Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .

Ещё одно замечание.

Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.

Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .

Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .

sin 2 α + cos 2 α = 1

Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :

A B 2 + O B 2 = O A 2

sin 2 α + cos 2 α = R 2

sin 2 α + cos 2 α = 1

Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!

Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,

можно заметить, что:

sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °

sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °

sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °

sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °

cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °

cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °

cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °

cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °

Рассмотрим тупой угол β :

Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:

sin ( 180 ° − α ) = sin α

cos ( 180 ° − α ) = − cos α

tg ( 180 ° − α ) = − tg α

ctg ( 180 ° − α ) = − ctg α

В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C

Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A

b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B

c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C

Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.

Читайте также: